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UN LUGAR PARA APRENDER FILOSOFÍA

PÁRRAFO 29.- COMPENDIO DE UN LIBRO PUBLICADO RECIENTEMENTE TITULADO UN TRATADO DE LA NATURALEZA HUMANA

PÁRRAFO 29.- RECHAZO DE LA EXACTITUD DE LA GEOMETRÍA
TEXTO
El segundo principio que me propuse comentar se refiere a la Geometría. Habiendo negado la infinita divisibilidad de la extensión, nuestro autor se encuentra obligado a refutar los argumentos matemáticos que han sido aducidos en favor de ella; y tales argumentos son, ciertamente, los únicos de algún peso. Lleva a cabo la refutación negando que la Geometría sea una ciencia lo suficientemente exacta como para admitir conclusiones tan sutiles como las relativas a la divisibilidad infinita. Sus argumentaciones pueden explicarse así. Toda la Geometría está fundada en las nociones de igualdad y desigualdad, y por lo tanto, según que poseamos o no poseamos un canon exacto de esa relación, la propia ciencia admitirá o no admitirá una gran exactitud. Ahora bien, existe un canon exacto de la igualdad si suponemos que la cantidad está compuesta de puntos indivisibles. Dos líneas son iguales cuando el número de los puntos que las componen es igual, y cuando cada punto de una se corresponde con un punto de la otra. Pero aunque este canon sea exacto, es inútil; puesto que nunca podemos calcular el número de puntos de una línea. Además, está fundado en la suposición de la divisibilidad finita, y por tanto jamás podrá proporcionar una conclusión que vaya contra ella. Si rechazamos este canon de igualdad, no disponemos de ningún otro que tenga la menor pretensión de exactitud. Encuentro dos de los que comúnmente se hace uso. Dos líneas que superen una yarda, por ejemplo, se dice que son iguales cuando contienen una cantidad inferior, por ejemplo una pulgada, un número igual de veces. Pero éste es un razonamiento circular. Porque se supone que la cantidad a la que llamamos una pulgada en una de las líneas es igual a la que llamamos una pulgada en la otra: Y la cuestión continúa siendo, ¿por qué canon nos guiamos cuando juzgamos que son iguales?; o, en otras palabras, ¿qué significamos cuando decimos que son iguales? Si tomamos cantidades inferiores aún, continuamos in infinitum. Éste no es, por tanto, canon alguno de igualdad. Cuando se les pregunta lo que quieren decir por igualdad, la mayor parte de los filósofos responden que la palabra no admite definición, y que es suficiente colocar ante nosotros dos cuerpos iguales, tales como dos diámetros de un círculo, para hacernos comprender ese término. Ahora bien, esto es tomar la apariencia general de los objetos como canon de esa proporción, y convertir a nuestra imaginación y sentidos en los jueces definitivos de ella. Pero un tal canon no admite exactitud alguna, y no puede proporcionar jamás una conclusión contraria a la imaginación y a los sentidos. Que las gentes instruidas juzguen si esta cuestión es o no es justa. Sería ciertamente de desear que se diese con algún expediente para reconciliar la filosofía y el sentido común, que con respecto a la cuestión de la divisibilidad infinita han librado entre sí las más crueles batallas.
TEXTO ORIGINAL
The second principle, which I proposed to take notice of, is with regard to geometry. Having denied the infinite divisibility of extension, our author finds himself obliged to refute those mathematical arguments which have been adduced for it; and these indeed are the only ones of any weight. This he does by denying geometry to be a science exact enough to admit of conclusions so subtle as those which regard infinite divisibility. His arguments may be thus explained. All geometry is founded on the notions of equality and inequality, and, therefore, according as we have or have not an exact standard of that relation, the science itself will or will not admit of great exactness. Now there is an exact standard of equality, if we suppose that quantity is composed of indivisible points. Two lines are equal when the numbers of the points that compose them are equal, and when there is a point in one corresponding to a point in the other. But though this standard be exact, it is useless; since we can never compute the number of points in any line. It is besides founded on the supposition of finite divisibility, and therefore can never afford any conclusion against it. If we reject this standard of equality, we have none that has any pretensions to exactness. I find two that are commonly made use of. Two lines above a yard, for instance, are said to be equal when they contain any inferior quantity, as an inch, an equal number of times. But this runs in a circle. For the quantity we call an inch in the one is supposed to be equal to what we call an inch in the other: and the question still is, by what standard we proceed when we judge them to be equal; or, in other words, what we mean when we say they are equal. If we take still inferior quantities, we go on in infinitum. This therefore is no standard of equality. The greatest part of philosophers, when asked what they mean by equality, say that the word admits of no definition, and that it is sufficient to place before us two equal bodies, such as two diameters of a circle, to make us understand that term. Now this is taking the general appearance of the objects for the standard of that proportion, and renders our imagination and senses the ultimate judges of it. But such a standard admits of no exactness, and can never afford any conclusion contrary to the imagination and senses. Whether this question be just or not must he left to the learned world to judge. It were certainly to be wished that some expedient were fallen upon to reconcile philosophy and common sense, which, with regard to the question of infinite divisibility, have waged most cruel wars with each other.
COMENTARIOS PÁRRAFO 29
La intención es rechazar que la Geometría sea una ciencia exacta y que se pueda hacer una división infinita del espacio.
Puede parecer paradójico que Hume, que afirma que la geometría es una "relación de ideas" (es decir una ciencia demostrativa y no probable), afirme aquí que la geometría no sea exacta. Para comprender esta crítica hay que asumir que no ataca al método geométrico, sino sólo a una de sus parcelas: la medi¬ción de la extensión.
Recuérdese, por otra parte, que para Descartes, la extensión (res extensa) era la segunda sustancia universal; en su pensamiento, las sustancias eran res extensa (la materia) y res pensante (el pensa¬miento). Por lo tanto, no es de extrañar este párrafo dedicado a atacarla racionalidad y sustancialidad de la geometría (cartesiana).
Recuérdese también que una de la paradojas de Zenón (de Elea; siglo V a. C) para demostrar la imposibilidad del movimiento se basaba en la infinita divisibilidad del espacio: el veloz Aquiles nunca llegaba a alcanzar a la lenta tortuga si le deja una ventaja inicial y el espacio es infinitamente divisible. En general, los pirrónicos siempre han atacado el argumento de la infinita divisibilidad del espacio.
Si, según Hume, lo significativo son las impresiones, lo que observamos es que el corredor más rápido alcanza al más lento, -y que, por mucho que nos empeñemos, el espacio físico no se puede divi¬dir infinitamente.
La crítica, por tanto, va dirigida a la teórica y racional divisibilidad del espacio y no, realmente, a que la Geometría sea una ciencia inexacta en sus métodos y procedimientos pues, otra parte, sus enunciados forman parte de lo que él considera como "relaciones de ideas" que son todas verdaderasy necesarias.
La Geometría se basa en el patrón de igual y desigualdad. El patrón de exactitud es fundamental en la Geometría.
Existe la igualdad en Geometría si suponemos que una recta está compuesta por puntos indivisibles (iguales y atómicos).
Entonces, dos rectas son iguales si tienen los mismos puntos.
Pero este patrón es inútil porque nunca podemos contar los puntos de una recta. Y no podemos hacerlo porque está basado en la divisibilidad infinita (otro argumento circular: se demuestra aquello de lo que se parte)
Por lo tanto, ¿qué queremos decir cuando afirmamos que dos rectas son iguales? Hay dos propuestas habituales para defender la exactitud de la,geometría.
a) Dos rectas son iguales si contienen el mismo número de unidades, pero esta unidad podrá a su vez ser dividida en otras subunidades y,así sucesivamente. b) Los filósofos no dan respuesta porque dicen que es una palabra sin defini¬ción, pero aseguran que reconocen dos cuerpos iguales -dos radios de un círculo- cuando se les presentan, pero eso es hacer a nuestros sentidos, que no tienen ninguna exactitud, los jueces últimos de esta cuestión.
Hume, después de presentar las contradicciones en las que se meten los defensores del concepto de igualdad -lo cuales muy característico del pensamiento escéptico- deja la cuestión al juicio de las gentes ilustradas.
CONOCIMIENTO DE RELACIONES ENTRE IDEAS
NO SE BASA EN LA EXPERIENCIA SINO EN CRITERIOS MERAMENTE LÓGICOS COMO EL DE NO CONTRADICCIÓN. NO SE REFIERE A LAS COSAS FÍSICAS SINO A NUESTRAS PROPIAS IDEAS. DA LUGAR A CONOCIMIENTO ESTRICTO. INCLUYE LA MATEMÁTICA Y LA LÓGICA.
La matemática y la lógica son conocimientos que se refieren a las relaciones entre ideas y que se alcanzan mediante el ejercicio de la razón, y no por la observación y la experiencia. Su verdad depende exclusivamente del principio de no contradicción, de requisitos puramente formales, pero no de cuestiones de hecho, por lo que establecen relaciones necesarias. Su veracidad no puede ser refutada por ninguna experiencia, ya que, propiamente, no se refieren a las cosas que se ofrecen en la experiencia. “Las proposiciones de este género se descubren por simples operaciones del pensamiento, y no dependen en nada de las cosas que existen en el Universo. Aunque no hubiese ni círculo, ni triángulo en la naturaleza, los teoremas demostrados por Euclides conservarían igualmente su evidencia y su verdad siempre” (“Investigación sobre el entendimiento humano”, IV). Utilizando la terminología kantiana, podríamos decir que son proposiciones a priori y analíticas.
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