LAS 5 DISCIPLINAS MATEMÁTICAS SEGÚN PLATÓN

CAP. VIII –LA ARITMÉTICA-
PALABRAS Y TÉRMINOS CLAVE PARA LA INTERPRETACIÓN
• lo que es contradictorio despierta la inteligencia = porque obliga a pensar por qué ocurre esa contradicción, para lo cual es preciso elevarse para comprender el problema.
• no parezca más la unidad que lo opuesto a ésta = lo uno y lo múltiple a la vez.
• qué cosa es la unidad en sí = la esencia de la unidad.

ESQUEMA
• ¿Pertenece el número al conjunto de cosas que provocan a la inteligencia?
• Sí porque le obliga a distinguir entre lo uno y lo múltiple y a preguntarse qué es la unidad en sí (la esencia).
• Por lo tanto, la logística y la aritmética (que tienen como objeto al número en sí; la esencia del número) son conocimientos que provocan a la inteligencia y lo que nuestras enseñanzas buscan.
• Por lo tanto, es un conocimiento deseable para los que se vayan a ocupar de dirigir y gobernar la ciudad porque ayuda a comprender las esencias (aquí la esencia de los números) por medio de la inteligencia.
• Pero no para que la apliquen al comercio ni a objetos particulares (cuentas), sino haciéndolo de una manera profunda (discurrir sobre los números en sí y contemplar su esencia), y entonces es una ciencia pura y no aplicada, que es lo que interesa a los fines que se persiguen.
• Al ser una ciencia pura «obliga al alma a usar de la inteligencia para alcanzar la verdad».
• Por tanto, es un conocimiento necesario.
• Pero por otra parte, produce muchas bondades en quién la estudia: los hace más despiertos, si bien no es algo sencillo de aprender.
RESUMEN:
Puesto que las cosas pueden ser percibidas como una y como múltiple (vgr.: un ejército, un enjambre, una ciudad, ¿son una o una multitud? ¿nos lo dicen los sentidos o la inteligencia?), le corresponde al alma preguntarse qué es la unidad. Y si ocurre con la unidad, también ocurre con el resto de los números y, por lo tanto, la ciencia que se ocupa de ellos (aritmética) es de las que conducen hacia el conocimiento de las esencias (por encima de los meros sentidos) puesto que supera el devenir que captan los sentidos.
Por lo que hay que implantar esa enseñanza entre los que se vayan a dedicar a gobernar ya que les obliga a discurrir sobre los números en sí (sobre su esencia), lo cual, adicionalmente, produce muchas ventajas para otros conocimientos (despierta y ejercita al alma en el pensamiento en sí).

CAPÍTULO IX –LA GEOMETRIA PLANA-

PALABRAS Y TÉRMINOS CLAVE PARA LA INTERPRETACIÓN
• para tales cosas sería suficiente una pequeña parte = para la práctica no es
necesario interesarse por lo que la geometría significa.
• lo que siempre existe = es la eternidad otorgada a la esencias.
• dirigir hacia arriba, dirigir hacia abajo = metáfora del lugar que ocupan las esencias (arriba) y las cosas prácticas (abajo). No siempre se usa igual esta metáfora, lo que hará que Glaucón se equivoque (ver capítulo X)
ESQUEMA
• Y con la geometría ocurre lo mismo, aunque aparentemente su lenguaje parez¬ca como el de un conocimiento aplicado.
• Criterio general a utilizar al elegir las materias de estudio: si la disciplina en cuestión lleva hacia las esencias (y finalmente hacia la idea de bien), entonces conviene; y no conviene si no tiene esa finalidad.
• La aparente contradicción del lenguaje de los geómetras: parece que trabajan con cosas cuando en realidad se ocupan de conceptos.
• La geometría es el conocimiento de lo que siempre existe (esencia).
• Por lo que hay que incluirla entre las materias que deban estudiar los que se vayan a ocupar de gobernar la ciudad ya que está dirigida hacia la verdad y ser¬virá para formar filósofos.
RESUMEN:
Y si ya tenemos asentada la primera disciplina, tenemos otra relacionada que, superándola, produce aún mejores beneficios para captar la idea de bien: la geometría.
Aunque aparentemente tiene un uso práctico, en realidad se ocupa de lo que existe siempre (la esencia), por lo que se establece como segunda materia de estudio.

CAPÍTULO X- LA GEOMETRÍA DE VOLÚMENES-
PALABRAS Y TÉRMINOS CLAVE PARA LA INTERPRETACIÓN
el sólido que está en movimiento = astronomía. La astronomía se ocupa de los cuerpos celestes que para los griegos eran divinos y tenían movimientos circulares y uniformes.
estudio del desarrollo en profundidad = la profundidad o la tercera dimensión. Los
volúmenes.
sólo es ciencia lo que versa sobre lo existente e invisible = sólo hay ciencia de las esencias, que son eternas e inmateriales y que sólo el alma las alcanza.
ESQUEMA
• Se propone una nueva disciplina: la astronomía, que Glaucón alaba.
• Ironía de la «utilidad» propuesta.
• Nueva aproximación al concepto de filosofía: el diálogo con uno mismo.
• Hay que dar un paso atrás: la astronomía requiere de un conocimiento anterior, añadido al de la geometría: la geometría de los volúmenes.
• Reconocimiento de lo abandonado que se halla ese conocimiento por parte institucional. Ayuda pública al conocimiento y a la investigación.
• Pero esta ciencia espacial (la geometría de los volúmenes) por haber sido tan poco estudiada se abandona, aunque se establece que será un conocimiento que deberán estudiar los futuros gobernantes.
• Y se pasa definitivamente al análisis de la Astronomía, que mira «hacia arriba» y será el cuarto nivel de estudios.
• El criterio «mirar hacia arriba» hace que Sócrates se burle nuevamente de Glaucón porque los conocimientos verdaderos no tienen nada que ver con lo sensible aunque sea un «mirar hacia arriba» sino con lo invisible, que es un mirar con los ojos del alma.
• La única ciencia que mira verdaderamente hacia arriba es aquella que se ocupa de «lo que existe, pero es invisible». El conocimiento sensible, sea mirando hacia arriba o hacia abajo, nunca nos conduce hacia la verdad.
RESUMEN:
Después de advertir la simpleza utilitarista de Glaucón con respecto a la astronomía, le sugiere retroceder un poco y señalarle que entre ésta y la geometría queda un saber sobre el que no han discutido. Antes de llegar a la astronomía hay que considerar la geometría de los volúmenes (como un paso superior a la geometría plana, pero anterior a la astronomía).
Problemática de la geometría de los volúmenes, que ha sido poco estudiada y recibe pocas atenciones, pero en cualquier caso habría de ser el tercer conocimiento.
El cuarto nivel de estudio será la astronomía.
Glaucón vuelve a alabar la astronomía de una manera que a Sócrates le parece infantil y equivocada: porque obliga a mirar hacia arriba.
Sócrates se burla de Glaucón y afirma que lo suyo nada tiene que ver con el mirar de los ojos (los sentidos), sino con el comprender (el mirar del alma) y que le da igual que se haga mirando hacia arriba o hacia abajo porque lo suyo es el mundo de las esencias que es invisible.

CAPÍTULO XI –LA ASTRONOMÍA-
PALABRAS Y TÉRMINOS CLAVE PARA LA INTERPRETACIÓN
• tracerías = decoración arquitectónica. Bordados celestes. Los griegos pensaban que los astros describían, en sus movimientos alrededor de la tierra, unas movimientos que tienen parecido con algunos decorados (o al revés: los decorados imitaban los movimientos celestes).
• labradas en materia visible = a fin de cuentas, aunque los astros sean divinos, si son visibles son materiales.
• desmerecen mucho de sus contrapartidas verdaderas = puesto que son imitaciones del movimiento en sí, que sólo es perceptible por la razón y el pensamiento, pero no por la vista.
• el artífice del cielo = el demiurgo. Dios creador de todo lo existente tomando materia y copiando de la ideas (Timeo).
• dejaremos las cosas del cielo = porque a fin de cuentas es visible para, a través de la astronomía, ascender a la esencia del movimiento.
ESQUEMA
• Si la astronomía no es válida porque sea útil, ¿por qué lo es?
• La astronomía es útil porque se refiere a los movimientos perfectos de los astros.
• Pero al igual que ocurre en la geometría, en la astronomía no hay que ocuparse de los fenómenos empíricos (de esta o de aquella figura en particular, ni de este o aquel astro) sino sólo de las relaciones abstractas que mantienen entre sí.
• Y esa misma idea (de abstracción genérica e ideal) es la que habrá de aplicarse a la educación del alma.
• Por ser esa su valía quedará prescrita como una enseñanza obligatoria. RESUMEN:
La astronomía, aunque todavía imperfecta porque también se ocupa de cuerpos visibles, es adecuada porque tiene por objeto la reproducción (la imitación) de los movimientos perfectos de los cielos, sólo perceptibles por la razón.
Aplicada se ocupa de lo más bello y perfecto que existe. En realidad, así entendida son el grado máximo de la perfección material.

CAPÍTULO XII –LA ARMONÍA-
PALABRAS Y TÉRMINOS CLAVE PARA LA INTERPRETACIÓN
• movimiento armónico = el sonido equilibrado.

ESQUEMA
• Además, lo que es conveniente en la astronomía también lo es la música porque ambas buscan lo bello y la armonía.
• Seguimos a los pitagóricos y estamos de acuerdo con ellos.
• Y un nuevo rechazo a aquellos (músicos y astrónomos) que se detienen en los minúsculos detalles sensibles olvidándose de la esencia de sus saberes, haciéndose declaración de preferencia por la teoría (la visión intelectual) a lo que aportan los sentidos.

RESUMEN:
Hermanamiento entre las armonías celestial (astronomía) y auditiva (música), siendo ambas pitagóricas (numéricas). La música también ha de ser enseñada con perfección no sensible (no haciendo caso a determinados expertos que anteponen el oído -lo sensible- a la inteligencia), pues tanto la astronomía como la música tienen como objeto la armonía numérica y la razón de ello.